KB 1 — Instance kalimat valid dan syarat tambahan

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Pengurus mengetahui pola “Jika dua syarat terpenuhi, syarat pertama terpenuhi”. Ia kini mengganti syarat pertama dengan “semua siswa membayar” dan syarat kedua dengan “ada buku tersedia”. Pola penalarannya tetap berjalan. Tetapi ketika memindahkan kata “semua” melewati kalimat lain, ia harus memeriksa apakah kalimat lain itu membicarakan siswa yang sama.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP. Mengisi pola proposisional valid dengan formula predikat menghasilkan instance pola yang tetap benar; bila masih terbuka, klosur universalnya valid. Misalnya $(F \land G) \Rightarrow F$ berlaku untuk formula pengisi apa pun.

Jika x tidak muncul bebas di G, nilai G tidak berubah saat x dicoba ke seluruh domain. Karena itu:

\forall x (F \land G) \equiv (\forall x F) \land G,

\exists x (F \lor G) \equiv (\exists x F) \lor G,

\forall x (F \lor G) \equiv (\forall x F) \lor G,

\forall x (F \Rightarrow G) \equiv ((\exists x F) \Rightarrow G),

\forall x (G \Rightarrow F) \equiv (G \Rightarrow \forall x F) .

Alasan contoh ketiga: bila G benar, kedua sisi benar. Bila G salah, kedua sisi menuntut $\forall x F$ . Untuk contoh keempat, gunakan $F \Rightarrow G \equiv \neg F \lor G$ , lalu $\forall x \neg F \equiv \neg \exists x F$ .

Syarat tersebut diperlukan. Ambil D= ${0, 1}$ , F berarti x=0 dan G berarti x=1. $\forall x (F \lor G)$ benar. Tetapi $\forall x F \lor G$ , pada penetapan bebas x=0, salah. Jika diperiksa klosur universal kedua sisi, penetapan x=0 tetap menjadi contoh penyangkal. Jadi tidak boleh menarik G keluar hanya karena bentuknya tampak sederhana.

Untuk kondisional, jika x tidak bebas di G, $\forall x ite (G, E, F) \equiv ite (G, \forall x E, \forall x F)$ . Pilih kasus G=B atau G=S; pada kedua sisi cabang yang dipakai sama.