Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Dua kartu arah bertuliskan “satu meter ke kanan” dan “dua meter ke kanan” memberi panjang berbeda, tetapi tidak memberi arah baru. Dua kali kartu pertama dikurangi sekali kartu kedua menghasilkan nol. Pasangan ini bergantung linear.
Ganti kartu kedua dengan “satu meter ke depan”. Gerak kanan tidak dapat dibatalkan oleh gerak depan. Untuk kembali ke nol, koefisien keduanya harus nol. Kedua arah bebas linear dan cukup menyusun semua perpindahan lantai, sehingga menjadi basis lantai. Ada dua arah independen; dimensinya 2.
Jika kartu kanan memakai dua meter sebagai satu satuan basis, posisi hanya memerlukan satu kartu kanan dan satu kartu depan. Koordinat terhadap basis baru adalah , meskipun koordinat standar tetap . Koordinat menghitung banyak satuan basis yang digunakan.
Dari cerita ke notasi dan konsep BMP
Penjelasan tambahan — data simulasi: arah dan hanya memberikan satu arah. Hubungan memakai koefisien tak semuanya nol: pasangan itu bergantung linear. Sebaliknya independen karena memaksa .
Himpunan bebas linear jika hanya mempunyai solusi koefisien semuanya nol. Himpunan bergantung jika ada koefisien tak semuanya nol; ini berbeda dari mengatakan semua koefisien harus tidak nol.
Basis adalah himpunan bebas linear yang merentang ruang. Basis lantai adalah , dimensinya 2; basis standar adalah , dimensinya 3. Tiga vektor di membentuk basis jika matriks kolomnya mempunyai rank 3 atau determinan tidak nol. Lebih dari tiga vektor di ruang itu pasti bergantung; dua vektor tidak cukup untuk menjadi basis seluruh ruang tiga dimensi.
Koordinat terhadap basis adalah koefisien kombinasi linear yang unik. Terhadap basis lantai , titik perpindahan mempunyai koordinat , bukan . Urutan dan skala basis harus disebut.