KB 1 — Perluasan interpretasi dan aturan kuantifier

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Guru ingin memeriksa seluruh loker 0,1,2 dengan aturan contoh Modul 6. Nilai x mula-mula 2. Saat memeriksa “untuk semua x”, guru mencoba x=0, kemudian 1, kemudian 2. Ia tetap memakai arti f dan p yang sama. Catatan x di luar pemeriksaan tidak harus ditimpa secara permanen.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP. $I [x \leftarrow d]$ adalah interpretasi yang sama dengan I, kecuali x bernilai d. Ini notasi ringkas penjelas untuk perluasan BMP. Dengan D= ${0, 1, 2}$ , f dan p dari Modul 6:

x	f(x)	p(f(x))
0	1	S
1	2	S
2	0	B

Maka $\forall x p (f (x))$ salah; x=0 menjadi penyangkal. $\exists x p (f (x))$ benar; x=2 menjadi saksi. Secara umum:

I ⊨ \forall x F jika untuk setiap d \in D, I [x \leftarrow d] ⊨ F .

I ⊨ \exists x F jika ada d \in D dengan I [x \leftarrow d] ⊨ F .

Sasaran	Yang harus dibuktikan
Universal benar	Semua anggota memenuhi
Universal salah	Ada satu anggota yang gagal
Eksistensial benar	Ada satu saksi yang memenuhi
Eksistensial salah	Semua anggota gagal

Urutan kuantifier penting. Dalam kelas, $\forall x \exists y q (x, y)$ dapat berarti setiap siswa memiliki seorang teman pilihan, yang boleh berbeda. $\exists y \forall x q (x, y)$ menuntut satu siswa yang menjadi pilihan semua orang. Pada D= ${0, 1}$ dan q(x,y) berarti x=y, bentuk pertama benar karena masing-masing memilih dirinya; bentuk kedua salah karena tidak ada satu angka yang sama dengan 0 dan 1 sekaligus.

Perluasan untuk fungsi/predikat mengganti artinya, sedangkan perluasan variabel hanya mengganti objek yang ditunjuk variabel itu. Keduanya jangan dicampur. Bila fungsi diganti, periksa kembali aritas, totalitas, dan keterutupan hasil pada domain.