Kombinasi linear, rentangan, dan ruang bagian

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Siswa hanya boleh bergerak sejajar arah kanan dan depan. Ia dapat mencapai $(2, 1, 0)$ dengan dua gerak kanan dan satu gerak depan, atau $(- 1, 3, 0)$ dengan satu gerak kiri dan tiga gerak depan.

Setiap bentuk $s e_{1} + t e_{2}$ adalah kombinasi linear. Semua hasil ketika $s, t$ real bebas dipilih membentuk rentangan. Seluruh hasil tetap mempunyai ketinggian nol; dua arah mendatar tidak dapat menghasilkan gerak ke atas.

Kumpulan perpindahan lantai memuat nol, tetap di lantai saat dua vektor dijumlahkan, dan tetap di lantai ketika diskalakan. Karena itu ia ruang bagian. Kumpulan titik pada ketinggian satu meter tidak memuat nol, sehingga bukan ruang bagian. Bentuk yang sama-sama datar belum cukup; yang diperiksa adalah sifat terhadap operasi vektor.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: dari arah $e_{1}, e_{2}$ , kita dapat mencapai $(2, 1, 0)$ tetapi tidak $(0, 0, 1)$ . Semua hasil $s e_{1} + t e_{2}$ membentuk lantai $z = 0$ , yaitu rentangan kedua arah tersebut.

Kombinasi linear adalah $c_{1} v_{1} + \dots + c_{k} v_{k}$ ; rentangan memuat semua hasil saat koefisien real bebas dipilih. Untuk menguji apakah $u$ berada dalam rentangan, selesaikan $[v_{1} \dots v_{k}] c = u$ .

Ruang bagian adalah himpunan bagian yang juga ruang vektor dengan operasi yang sama. Uji: memuat nol, tertutup terhadap penjumlahan, dan tertutup terhadap perkalian skalar. Lantai $z = 0$ memenuhi ketiganya. Lantai $z = 1$ tidak memuat nol, sehingga bukan ruang bagian meskipun bentuknya juga bidang. Himpunan solusi $A x = 0$ selalu ruang bagian; $A x = b$ dengan $b \neq 0$ umumnya bukan.