KB 3 — Universal closure dan existential closure

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Pada kertas tertulis “x meminjam buku y”. Nama siswa x dan y belum dipilih. Guru ingin mengubahnya menjadi kalimat lengkap dengan dua kemungkinan: setiap siswa meminjam buku setiap siswa, atau ada pasangan siswa yang melakukan peminjaman. Menambah kuantifier menutup tempat yang masih terbuka, tetapi kedua penutupan mempunyai tuntutan berbeda.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP. Bila F mempunyai daftar variabel bebas berbeda $x_1,\dots ,x_n$ menurut urutan pemunculan, klosur universal adalah $\mathrm{\forall }{x}_1\cdots \mathrm{\forall }{x}_{n}F$, ditulis $({\mathrm{\forall }}^{\ast })F$. Klosur eksistensial adalah $\mathrm{\exists }{x}_1\cdots \mathrm{\exists }{x}_{n}F$, ditulis $({\mathrm{\exists }}^{\ast })F$.

Untuk $F=p(x)\wedge \mathrm{\exists }yq(y,z)$, variabel bebasnya x dan z. Maka

y sudah terikat sehingga tidak perlu ditambah. Jika F sudah tertutup, klosurnya tetap F. Cakupan sangat penting: $({\mathrm{\forall }}^{\ast })(A\wedge B)$ menutup seluruh gabungan; $(({\mathrm{\forall }}^{\ast })A)\wedge B$ hanya menutup A sehingga B dapat tetap terbuka.

Klosur universal benar bila F benar untuk semua penetapan variabel bebas dengan arti konstanta/fungsi/predikat tetap. Klosur eksistensial benar bila ada satu penetapan demikian. Dengan domain tidak kosong, universal closure benar mengakibatkan existential closure benar; arah balik umumnya gagal. Klosur tidak berarti mengganti konstanta atau fungsi.

Hubungan materi

• KB 2 — Agreement pada simbol dan ekspresi
• Hubungan konsep: Modul 5
• Hubungan konsep: Modul 9