Garis, lingkaran, dan bidang

Kembali ke bagian induk

Cerita pengantar — penjelasan tambahan, data simulasi. Pada denah kelas, tandai asal $(0, 0)$ dan titik $(1, 1)$ meter. Titik $(2, 2)$ berada pada garis yang sama karena gerak kanan dan depannya tetap seimbang. Titik $(2, 1)$ menyimpang. Kita ingin aturan untuk memeriksa setiap calon titik tanpa menggambar ulang denah: di sini aturannya $y = x$ .

Untuk lingkaran, bayangkan pita satu meter diputar dengan satu ujung tetap di asal. Ujung bergeraknya dapat melalui $(1, 0), (0, 1), (- 1, 0)$ . Untuk bidang, bayangkan permukaan lantai melalui tiga sudut yang tidak segaris.

Pada ketiga bentuk ini, sasaran kita sama: mencari persamaan yang dipenuhi semua titik bentuk tersebut. Determinan membantu menyatakan hubungan titik, sedangkan substitusi titik akan memeriksa apakah persamaan yang diperoleh benar. Berikutnya, garis, lingkaran, dan bidang dibahas satu demi satu.

Dari cerita ke notasi dan konsep BMP

Penjelasan tambahan — data simulasi: pada denah, titik $(0, 0)$ dan $(1, 1)$ terletak pada garis $y = x$ . Titik $(x, y)$ berada pada garis yang sama jika

| \begin{matrix} x & y & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = 0.

Pengembangan memberi $- x + y = 0$ . Determinan nol menyatakan tiga titik segaris. Dua titik penentu harus berbeda. Bentuk umum garis adalah $a x + b y + c = 0$ , dengan $(a, b) \neq (0, 0)$ .

Jembatan lingkaran: titik denah $(1, 0), (0, 1), (- 1, 0)$ berjarak 1 dari asal. Masukkan masing-masing ke $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ : diperoleh $D = E = 0, F = - 1$ , jadi $x^{2} + y^{2} = 1$ . Persamaan linear muncul pada koefisien $D, E, F$ , meskipun bentuk geometri lingkaran memuat kuadrat koordinat. Tiga titik yang tidak segaris menentukan lingkaran tunggal. Pusatnya $(- D / 2, - E / 2)$ dan kuadrat jari-jarinya $(D^{2} + E^{2}) / 4 - F$ .

Jembatan bidang: tiga titik lantai $(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)$ menentukan $z = 0$ . Tambahkan titik umum $(x, y, z)$ sebagai baris pertama pada determinan empat kolom $[x, y, z, 1]$ ; determinan nol menyatakan keempat titik sebidang. Tiga titik penentu harus tidak segaris. Normal bidang dan pengujiannya dijelaskan lagi di Modul 6.